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DALL’ESITENZA DEL CAOS AL CAOS DELL’ESISTENZA

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Redazione-Correva l’anno 1960, quando il meteorologo statunitense Edward Lorenz (1917-2008) stava cercando di comprendere i misteri dell’atmosfera terrestre presso il centro di ricerca MIT (Massachusetts Institute of Technology) di Boston. Il suo compito era quello di prevedere il tempo atmosferico, cosa che tutti noi, almeno a breve termine, sappiamo intuitivamente fare osservando la volta celeste. A Lorenz, tuttavia, non piaceva questo modo semplicistico per la spiegazione del cambiamento atmosferico poiché gli appariva strano che un intreccio così fitto di atomi e molecole, componenti dei gas atmosferici, potesse essere a fondo compreso attraverso la mera osservazione ad occhio nudo del cielo. In lui si stava concretizzando una crescente consapevolezza di quanto fossero imprevedibili certi fenomeni con i quali naturalmente conviviamo. La prima evidenza oggettiva a sostegno di queste supposizioni giunse da un calcolo matematico effettuato mediante l’ausilio di un rudimentale computer a valvole. Immettendo dati atmosferici nel suo calcolatore “preistorico”, Lorenz si accorse che se, per risparmiare tempo e spazio, arrotondava alcune cifre decimali di numeri troppo lunghi, otteneva risultati completamente diversi da quelli che il computer restituiva quando usava i numeri completi.

Lo scienziato scelse quindi di ripetere l’esperimento su piccola scala, riproducendo l’ambiente atmosferico attraverso l’utilizzo di un liquido contenuto in un recipiente riscaldato alla base, con l’obiettivo di verificare come una piccola variazione di uno dei parametri descrittori dell’esperimento avrebbe potuto comportare un grande cambiamento nel tipo di moto descritto dal fluido nel suo insieme. Lorenz scelse di utilizzare tre tipi differenti di parametri, denominati A, B e C, che potevano essere liberamente variati dallo sperimentatore, perché caratterizzanti le proprietà del fluido utilizzato, la differenza di temperatura tra le facce, riscaldata e non, del recipiente e le dimensioni di quest’ultimo: per tali ragioni, possiamo denominare A, B e C come “parametri di controllo” dell’esperimento, gli unici a non dover essere soggetti a variazione nel corso della prova di laboratorio. Le tre grandezze delle quali lo scienziato decise di analizzare la variazione nel corso del tempo furono denominate semplicemente con le tre lettere x, y e z, riferite alla velocità con la quale il fluido iniziava a ruotare all’interno del recipiente (fig. 1) e alla discrepanza tra questa e quella prevista dalle leggi fisiche “standard”, precedentemente formulate da altri celebri scienziati.

Figura 1: Schema dell’esperimento di Lorenz. Il fluido compreso tra le due facce del recipiente, una più calda dell’altra, inizia a risalire dalla base per effetto del calore, ma poi è costretto a riscendere dal lato opposto per via della minor temperatura incontrata.

Lorenz voleva la prova sperimentale di quella instabilità ed imprevedibilità già in precedenza osservata nel cambiamento atmosferico, e, attraverso una serie di tre equazioni contenenti i sei parametri prima citati (fig. 2), riuscì a scrivere in forma matematica quello che egli, visivamente, osservò: l’aumento di uno dei parametri di controllo dell’esperimento faceva sì che le grandezze x, y e z restanti passassero da un regime di crescita “lineare” ad uno “non lineare”, nel senso che esse iniziavano a variare in maniera sempre più brusca, casuale ed apparentemente imprevedibile. Lorenz aveva rappresentato il “caos”.

Figura 2: Le equazioni di Lorenz. Al di là del formalismo matematico, le equazioni di Lorenz ci permettono di comprendere come una leggera variazione di una grandezza misurabile possa comportare la repentina e smisurata variazione di un altro parametro associato.

Possiamo “osservare” il “caos” attraverso la costruzione geometrica di un particolare oggetto matematico chiamato “attrattore di Lorenz”. Già Aristotele, nel IV secolo a.C., aveva pensato che certi corpi, in base alla loro “sostanza”, fossero in grado di dirigersi verso luoghi privilegiati, o “naturali”, come la pietra verso il suolo ed il fuoco verso l’alto: era il segno evidente che la natura ci offriva una serie di tendenze da assecondare, a meno di una spesa energetica, come quella muscolare per sollevare un corpo da terra. Se ad esempio consideriamo il moto di un pendolo vincolato ad un’estremità che oscilla liberamente nell’aria, questo dissiperà progressivamente la sua energia a causa dell’attrito con l’aria. Qualora rappresentassimo la traiettoria del pendolo nello “spazio delle fasi”, cioè uno spazio matematico appositamente creato in cui ogni punto preso in considerazione indica la fase nella quale il “sistema dissipativo pendolo-aria” si trova in un certo istante, otterremmo una linea orientata reale di tipo spiraliforme che si discosta molto da quella immaginaria, a forma di “mezzaluna”, che sembra tracciare il pendolo quando lo osserviamo oscillare. E al centro del sistema di riferimento considerato vi sarà l’attrattore dissipativo, cioè il punto verso cui tenderà il pendolo prima di fermarsi (fig. 3).

Figura 3: Spazio delle fasi del sistema dissipativo “pendolo-aria”.  Se considerassimo superfici S attraversate da tutte le possibili traiettorie nello spazio delle fasi, dovute a differenti valori iniziali di x, ad intervalli di tempo sempre crescenti, queste si rimpicciolirebbero fino a diventare puntiformi, poiché le traiettorie convergerebbero tutte nell’attrattore “punto fisso”.

Anche il principio del “caos” identificato da Lorenz con la grande sensibilità di un sistema alle condizioni iniziali può essere rappresentato graficamente, in una delle sue forme, per mezzo di un attrattore. Ma quello di Lorenz  è un “attrattore speciale” perché invece di rappresentare la stabilità o la convergenza di un sistema in uno stato, ne suggerisce l’imprevedibilità. Nell’esperimento di Lorenz sulle linee di flusso di un fluido riscaldato, lo spazio delle fasi sarà tridimensionale, come lo spazio che comunemente percepiamo con i nostri sensi, rappresentato dalle grandezze di riferimento delle sue tre equazioni viste in precedenza. L’attrattore di Lorenz descritto in questo spazio è caratterizzato non da superfici S sempre più piccole e convergenti verso un punto, come nel caso dell’attrattore dissipativo in fig.3, ma da ellissoidi che si dilatano lungo la direzione dell’asse a, che quindi aumenta in lunghezza, che si contraggono lungo la direzione c, che quindi diminuisce in lunghezza, e che rimangono invariati lungo quella b, che rimane appunto uguale in lunghezza (fig. 4).

Figura 4: Spazio delle fasi a tre dimensioni. I tre assi a, b e c determinano quanto ciascun ellissoide si estende in lunghezza, ampiezza ed altezza, modificandone quindi il volume complessivo. Si noti come gli ellissoidi non devono per forza dilatarsi, ma possono anche contrarsi o ruotare nello spazio.

Inoltre, proprio per il fatto che solamente un asse dell’ellissoide dell’attrattore di Lorenz è soggetto ad allungamento, l’intero sistema descritto dall’attrattore è dissipativo, similmente a quello del pendolo descritto in precedenza. La forma dell’attrattore di Lorenz, proiettato per semplicità su un piano bidimensionale, ricorda quella di una farfalla (fig. 5) ed ha ispirato lo scienziato nell’enunciare il suo celebre aforisma rappresentativo del “caos”: il battito d’ali di una farfalla può provocare un uragano dall’altra parte del mondo . E’ il cosiddetto “effetto farfalla”, cioè l’estrema sensibilità alle condizioni iniziali. Inoltre, osservando la figura, si può notare che “tagliandone una fetta” con un piano, denominato “sezione di Poincarè” dal nome del celebre matematico Henri Poincarè (1854-1912) che la studiò, compaiano una serie di punti paralleli, generati dall’incrocio delle traiettorie con il piano, che ingrandendo la figura si ripetono all’infinito (fig. 5).

Ciò ci suggerisce un’importante proprietà di questi “speciali” attrattori, ossia quella di occupare un volume finito, delimitato apparentemente dal contorno “a farfalla”, ma di essere formato internamente da linee di lunghezza infinita che non si incrociano mai reciprocamente, anche se a prima vista sembrerebbe l’opposto. L’attrattore di Lorenz, attraversando infiniti punti dello spazio delle fasi, può fornire infinite informazioni sulle altrettante infinite fasi del sistema, ricordando infatti che ogni punto dello spazio ne rappresenta una.

Figura 5: Attrattore di Lorenz sul paino x-z. Si noti la caratteristica forma a farfalla. A destra si può osservare la serie di infiniti punti che si ottengono tagliando la figura con un piano (sezione di Poincarè).

Grazie a queste stupefacenti intuizioni di Lorenz, non a caso considerato il “padre” della teoria del caos, si è arrivati a scoprire una dimensione matematica che sfugge alla semplice osservazione macroscopica dei fenomeni naturali.

In che modo si può arrivare a concepire il “caos” nella nostra esistenza, a partire dall’analisi della natura, arrivando a concepire quello che il filosofo e sociologo Edgar Morin ne “Il metodo” definisce come “caos-mo”? Il “caos-mo”, in opposizione al più noto “cosmo”, rappresenta la concezione secondo la quale tutto è spiegabile a partire dai criteri di instabilità e di imprevedibilità propri della teoria del caos, principi rivoluzionari e non tradizionali secondo i quali potremo in futuro spiegare le problematiche relative alla nostra esistenza dal punto di vista filosofico, senza entrare in contrasto con i meccanismi naturali che la scienza ci propone. David Bohm (1917-1992), scienziato e filosofo statunitense, disse che “tutto è vivo” ed il “morto”, inteso come la “stasi”, sarebbe solo un’astrazione da noi inventata per semplificarci la vita.

Walter Freeman (1895-1972), psicologo statunitense, ipotizzò che il “caos neuronale” presente nel nostro cervello, in particolare all’interno dei meccanismi che si occupano di condurre gli impulsi elettrici tra i neuroni, potesse essere la chiave per comprendere la produzione di idee nuove, creative, come se un alto livello di caos, così come per l’attrattore di Lorenz nello spazio delle fasi, ci offrisse la possibilità di esplorare lo “spazio” astratto dei nostri pensieri nella sua interezza, senza limitarci alla considerazione di

pochi e restrittivi concetti.

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